Het eerste wereldwonder dat we bezochten was het Christo Redentor beeld in Rio de Janeiro. Maar Rio is ook de woonplaats van één van de meest veelbelovende jonge wiskundigen van vandaag: Artur Avila.

De Fields Medaille is een soort Nobelprijs voor de wiskunde. (Het is eigenlijk vreemd dat er geen Nobelprijs voor de wiskunde bestaat, wel voor natuurkunde, scheikunde, geneeskunde, literatuur en de vrede.) De prijs is genoemd naar de Canadese wiskundige John Charles Fields, die zijn leven lang (van 1863 tot 1932) zijn best deed om de aandacht voor wiskunde en wiskundeonderwijs in de wereld te vergroten. Bij zijn dood liet hij 47.000 dollar na voor een fonds waaruit elke 4 jaar een prijs voor de meest veelbelovende jonge wiskundigen moest worden gefinancierd. Er zijn wel wat verschillen met de Nobelprijzen. Zo mag een Fields Medalist niet ouder zijn dan 40. Op die regel is slechts één keer een uitzondering gemaakt. In 1998 kreeg Andrew Wiles een bijzondere Fields Medaille voor zijn bewijs van de laatste stelling van Fermat. Wiles was toen 44, en we zullen zijn naam nog tegenkomen in het verhaal over India.

Het werk van Artur Avila is lastig te omschrijven, je kunt het met recht hogere wiskunde noemen. En ik moet eerlijk toegeven dat een titel als “Absolute continuity of the integrated density of states for the almost Mathieu operator with non-critical coupling” voor mij ook abacadabra is. Maar ik kan wel proberen iets uit te leggen over één van zijn grote successen (waarnaar de titel die ik net gaf verwijst). Het heeft allemaal te maken met zogenaamde dynamische systemen.

Dynamische systemen zijn systemen die veranderen of zich ontwikkelen in de tijd. Een simpel voorbeeld van een dynamisch systeem is een slinger; een balletje aan een stokje. Als je het balletje een zetje geeft gaat het heen en weer slingeren. Die beweging is een verandering van de plaats van het balletje in de tijd en dus is dit een dynamisch systeem. Maar ook het weer, met luchtdruk, temperatuur, luchtvochtigheid en nog een reeks grootheden, die veranderen in de tijd, of de effectenbeurs met aandelenkoersen die veranderen in de tijd, zijn voorbeelden van dynamische systemen. Om heel precies te zijn, zijn voor wiskundigen niet de slinger, het weer en de beurs de dynamische systemen, maar de formules en vergelijkingen die de bewegingen en veranderingen beschrijven.

Één van de meest bestudeerde onderwerpen in het vakgebied van de dynamische systemen is chaos. Nu is het zo dat de betekenis van begrippen in de wiskunde niet altijd helemaal overeen komt met de betekenis die die begrippen in het dagelijks leven hebben. Beter gezegd: begrippen in de wiskunde moeten heel exact gedefinieerd zijn (en dat moet ook in alle andere wetenschappen), terwijl in het dagelijks leven de betekenis nog wel eens wil variëren. Zo kan mijn moeder vinden dat mijn slaapkamer vroeger regelmatig een chaos was, terwijl ik dat zelf heel erg mee vind vallen. In de wiskunde is chaos gedefinieerd als ‘een extreme afhankelijkheid van begincondities’[1]. Wat dat inhoudt kan ik laten zien aan de hand van het simpele voorbeeld van de slinger. De beweging van de slinger is heel regelmatig en voorspelbaar, een zich steeds herhalende heen-en-weer beweging. Vanwege die herhaling noemen we de beweging periodiek, na een vaste periode herhaalt zich hetzelfde patroon. Maar als we die simpele slinger een klein beetje ingewikkelder maken door er een tweede slinger onderaan te hangen krijgen we ineens een heel ander beeld.

[1] Dit is eigenlijk maar één van de definities. Er zijn ook andere, maar dit is de meest gebruikte.

De beweging wordt nu onregelmatig en is niet meer periodiek. Het is goed om hier op te merken dat de beweging niet onvoorspelbaar is. We kunnen de vergelijkingen waaraan het dubbele slingersysteem zich moet houden makkelijk opschrijven en het filmpje is eigenlijk het resultaat van een simulatie, een berekening gebaseerd op die vergelijkingen. Voor iedere beginpositie kunnen we uitrekenen hoe de beweging er uit komt te zien. Maar dat berekenen moet wel heel erg precies gebeuren en het bepalen van de beginpositie ook.

Het filmpje hierboven laat drie keer (in groen, rood en blauw) de beweging van dezelfde dubbele slinger zien maar met net heel iets andere beginposities. Aanvankelijk lijken de bewegingen erg op elkaar, maar na verloop van tijd gaan de drie slingers heel verschillende dingen doen. Een heel klein verschil in het begin leidt na verloop van tijd tot grote verschillen, een ‘extreme afhankelijkheid van de begincondities’.

Dit chaotische gedrag werd al in de 19e eeuw opgemerkt door o.a. Henri Poincaré en Jacques Hadamard, maar het was de Amerikaanse wiskundige Lorenz die het in 1961 pas officieel beschreef als ‘extreme afhankelijkheid van de begincondities’. Lorenz werkte aan weersvoorspellingen, die tot dan toe vooral beperkt werden door de enorme hoeveelheid berekeningen die nodig waren om de vergelijkingen in voldoende detail door te rekenen. Met de introductie van de computer was de verwachting dat de weersvoorspellingen snel beter zouden worden. Maar tot de grote frustratie van met name de wiskundigen die aan de weersmodellen werkten, lukte dat niet. Hoewel de voorspellingen voor een dag of drie vooruit wel verbeterden, ging het bij een dag of 5 à 6 nog altijd hopeloos mis. En hoe preciezer de metingen die ingevoerd werden en hoe nauwkeuriger de modellen, het maakte niets uit voor die langere-termijn-voorspellingen. Tot Lorenz op een dag besloot een deel van zijn berekeningen opnieuw te draaien op zijn Royal McBee LGP-30 computer. Lorenz printte de uitkomst na een aantal dagen uit op papier en voerde de waarden als beginwaarden in voor een nieuwe berekening. De nieuwe berekening leek aanvankelijk precies op de complete simulatie die hij daarvoor had gedraaid, maar na een dag begonnen er kleine verschillen zichtbaar te worden, en na nog een dag leken de twee oplossingen die hetzelfde hadden moeten zijn helemaal niet meer op elkaar (net als bij de dubbele slingers met iets verschillende beginposities). Zoals een echte wiskundige betaamt ging Lorenz op zoek naar de oorzaak, en ontdekte dat de cijfers die hij had uitgeprint en ingevoerd afgerond waren. De computer rekende met getallen met 6 cijfers achter de komma, maar de standaard printout gaf maar 3 cijfers achter de komma. Deze kleine afrondingen kun je zien als kleine verstoringen op de ‘echte’ waarden, en die bleken in het weermodel alsmaar te groeien totdat ze de oplossing totaal domineerden. Lorenz zelf heeft het op een conferentie als volgt beschreven: “de vleugelslag van een vlinder in Brazilië kan een wervelstorm in Texas veroorzaken”.

Nu is de beweging van een dubbele slinger niet altijd chaotisch. Als we bijvoorbeeld de onderste bal heel zwaar maken en de bovenste heel licht, dan ontstaat in feite één lange slinger met een klein balletje halverwege het stokje. De beweging is dan een periodieke, zoals van een enkele slinger, met een kleine verstoring die niet groter wordt. Als we de verhouding tussen de massa van de bovenste bal en de onderste bal langzaam laten veranderen van een heel klein getal (grote onderste massa en kleine bovenste) naar 1 (gelijke massa’s), dan gaat het gedrag ergens over van periodiek naar chaotisch. De vraag die wiskundige al lange tijd bezig houdt is: is er sprake van één enkele overgang, of is er een soort van tussengebied waarin periodiek en chaotisch gedrag elkaar afwisselen? In het filmpje hieronder is een voorbeeld te zien van een systeem dat van periodiek overgaat in chaotisch, en duidelijk is te zien dat er een overgangsgebied is waarin chaotisch en periodiek gedrag elkaar afwisselen. Maar geldt dat voor alle dynamische systemen die ergens periodiek en ergens chaotisch gedrag vertonen?

Artur Avila heeft aangetoond dat dit inderdaad geldt voor een hele grote klasse dynamische systemen, waarvan bekend was dat ze een gebied met chaotisch en een gebied met periodiek gedrag hebben. Al deze systemen hebben dus een overgangsgebied waarin chaotisch gedrag en periodiek gedrag elkaar afwisselen. (Een wiskundige heeft dit eens beschreven als ‘een zee van chaos met eilandjes van periodiciteit’.) Het bewijzen hiervan is een grote wiskundige prestatie en Artur heeft er zo nog een paar op zijn naam. Maar de vraag rijst misschien “wat hebben we hier nu aan?”. In de wiskunde is dat niet altijd gemakkelijk te zeggen. In een later verhaal zal ik aangeven dat een stelling waarvan de geschiedenis terug gaat tot de 6e eeuw, pas in de 21e eeuw een toepassing heeft gevonden en nu door bijna iedereen wordt gebruikt. Maar in het geval van het werk van Artur Avila aan het overgangsgebied tussen periodiek en chaotisch gedrag is er wel een direct nut. In de financiële wereld wordt ontzettend veel gebruik gemaakt van wiskundige modellen. Die modellen behoren vaak tot de klasse waarover Artur’s bewijs gaat, ze hebben een gebied waarin ze periodiek gedrag vertonen (koersen gaan vaak op en neer met een zekere regelmaat) en een gebied waarin het gedrag chaotisch is. Dat chaotische gedrag kan tot grote problemen leiden omdat koersen dan erg onvoorspelbaar gaan lijken en kleine veranderingen in bijvoorbeeld het koopgedrag enorme gevolgen kunnen hebben. De financiële instellingen willen dus graag in het periodieke gebied blijven. Maar de ‘snelle financiële jongens’ die bij die instellingen werken weten dat hoe dichter je bij het chaotische gebied komt, hoe interessanter het wordt (lees: hoe meer er voor hen valt te verdienen). Omdat de modellen erg complex zijn is het niet mogelijk om af te leiden waar de grens van het periodieke gebied ligt. Daarom worden simulaties gedraaid met de modellen met als simpele regel: ‘als de uitkomst periodiek is zitten we in het periodieke gebied, en als de uitkomst chaotisch is zitten we in het chaotische gebied’.

Je zou zeggen dat het verhaal daarmee afgelopen is. Zonder beschrijving van het gebruik van de yupana en met alleen maar een tekening is het onmogelijk om er achter te komen hoe de Inca’s hun berekeningen uitvoerden? Toch? Nee dus. Als er iets is waar wiskundigen van houden en waar ze goed in zijn dan is het het oplossen van puzzels, en dit is een fantastische puzzel. Veel wiskundigen – vooral uit de Inca-regio – hebben zich dan ook al bezig gehouden met het oplossen van die puzzel. En in 2010 is het een wiskunde-professor in Minnesota samen met een studente Spaans met een voorliefde voor de wiskunde van de Inca’s gelukt om de puzzel op te lossen[1]! Hoe hebben ze dat gedaan?

[1] Leonard, M., and Shakiban, C. “on The Incan Abacus: A Curious Counting Device”, Journal of Mathematics and Culture, Volume 5 Number 2, November 2010.

Het begint met een stukje logisch nadenken. Zoals ik al aangaf moeten de Inca’s hebben kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dat moet dus allemaal met de yupana mogelijk zijn. Het optellen (en aftrekken) is niet zo moeilijk. De Chinezen gebruiken daar een telraam voor en ook wij Europeanen hebben dat eeuwenlang gedaan. Bovendien beschrijft Huaman Poma dat de Inca’s een tientallig stelsel gebruikten. Tenslotte weten we dat de Inca’s getallen vastlegden met behulp van zogenaamde quipu (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Quipu voor meer informatie) met knopen die eenheden voorstelden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen etc. Dat de yupana op een vergelijkbare manier zou zijn opgedeeld, waarbij de onderste rij voor de eenheden is, die daarboven voor de tientallen, daarboven voor de honderdtallen, etc.

Nu is alleen nog de vraag waarom elke rij elf gaatjes/vakjes heeft in plaats van tien (5+3+2+1), zoals de kralen op een telraam[1]. De functie van het extra gaatje – in de rechterkolom – is niet zo ingewikkeld om te bedenken. Bij het optellen kan het voorkomen dat in bijvoorbeeld de rij van de eenheden tien vakjes vol raken, maar dat er eigenlijk nog meer eenheden bij moeten. We kunnen dan ruimte maken door de tien eenheden te vervangen door één tiental. Op de yupana komt dat er op neer dat we één maiskorreltje in de rechterkolom plaatsen – om te onthouden dat er tien eenheden waren – en dan mogen we de rij voor de eenheden verder weer leeg maken. Als dat is gebeurd verplaatsen we het maiskorreltje uit de rechterkolom naar de rij erboven. (Voor degenen die zich het optellen van grote getallen op de lagere school nog herinneren: dit komt overeen met het één onthouden.)

[1] Strikt genomen heb je aan negen gaatjes genoeg omdat je de getallen 0 t/m 9 weer moet kunnen geven.

Het gebruik van een extra kolom rechts alleen maar om te onthouden dat we tien eenheden vervangen door één tiental, lijkt wat overdreven. Het leegmaken van de rij eenheden en het plaatsen van een maiskorreltje extra in de rij van de tientallen kan best in één keer worden gedaan, zoals op een telraam gebeurt. Maar dat is wel wat foutgevoeliger. Als de rekenaar tijdens deze bewerking gestoord wordt is er een kans dat er vergeten wordt een extra korreltje in de rij tientallen te plaatsen. Omdat bij de yupana alle informatie op het bord blijft is de kans dat er iets fout gaat kleiner. En dit zou kunnen verklaren waarom zowel Huaman Poma als de Acosta benadrukken dat de Inca rekenmeesters zo weinig fouten maken. In figuur 1 wordt een voorbeeld gegeven van optellen met de yupana.

Figuur 1: voorbeeld van optellen met de yupana. In stap C wordt een ‘volle’ rij met 10 steentjes vervangen door één steentje in de rechterkolom. In stap E wordt dit ene steentje verplaatst naar de rij erboven.

Aftrekken is omgekeerd optellen en zal ik hier niet uitvoerig uitleggen. Figuur 2 geeft een voorbeeld en ook hier zien we het gebruik van de rechterkolom voor het vervangen van één honderdtal door tien tientallen.

Figuur 2: Aftrekken met behulp van de yupana. In stap D wordt een steentje van de honderdtallen-rij naar de rechterkolom een rij lager verplaatst, omdat deze rij leeg is geraakt. In stappen E en F wordt dit steentje vervangen door een ‘volle’ rij met tien steentjes. Vervolgens kunnen er vijf steentjes naar de linkerkant van de yupana worden verplaatst om links en rechts van de yupana dezelfde aantallen te krijgen.

Maar nu wordt het ingewikkeld (en daarom interessant): hoe kun je vermenigvuldigen met de yupana? Zoals aangegeven moet dit wel met de yupana mogelijk zijn geweest, maar vermenigvuldigen met een soort telraam, hoe kan dat? Er zijn (o.a. op youtube) wel manieren te vinden om te vermenigvuldigen en daarbij een telraam te gebruiken, maar als je iets beter kijkt zie je dat hierbij de vermenigvuldiging in stukjes wordt gehakt. Elke deelvermenigvuldiging wordt ‘uit het hoofd’ gedaan, en het telraam wordt gebruikt om de deelresultaten bij elkaar op te tellen. Het kan natuurlijk zijn dat de Inca’s het ook zo hebben gedaan, maar dat lijkt niet zo logisch. Voor het ‘uit het hoofd’ doen van de deelvermenigvuldigingen is het noodzakelijk dat je de vermenigvuldigingstafels uit je hoofd kent. (Vandaar dat er in ons rekenonderwijs zo’n nadruk ligt op het uit je hoofd leren van die tafels.) Er is geen enkele aanwijzing dat de Inca’s zulke vermenigvuldigingstafels gebruikten. Maar bovendien staat het gedeeltelijk ‘uit het hoofd’ doen van een berekening nogal haaks op het gebruik van de rechterkolom bij het optellen en aftrekken. Het idee hierachter is dat alle informatie op het bord blijft en er niets ‘uit het hoofd’ gedaan hoeft te worden. Dus waarom zou dat idee bij het vermenigvuldigen – een complexere berekening – worden losgelaten? Niet logisch…

Maar we hebben nog een belangrijk gegeven van de yupana niet gebruikt. De tien gaatjes in de drie rechterkolommen zijn opgedeeld in vijf, drie en twee gaatjes. En die getallen zijn bijzonder[1]. We kunnen namelijk twee ‘maken’ door twee enen bij elkaar op te tellen, drie door twee en één bij elkaar op te tellen en vijf door drie en twee bij elkaar op te tellen. Bovendien kunnen we alle getallen tussen nul en negen schrijven als een som van de getallen vijf, drie, twee en één. Dit klinkt allemaal erg interessant, maar wat heeft het met vermenigvuldigen te maken? En hier hebben de dames Molly Leonard en Cheri Shakiban hun wiskundige inzicht gebruikt. De vraag ‘hoe gebruik je een yupana voor vermenigvuldigen?’ kun je namelijk ook stellen als ‘hoe gebruik je een instrument waarmee je kunt optellen, om mee te vermenigvuldigen?’, of ‘hoe kun je – op een handige manier – een vermenigvuldiging omzetten in een serie optellingen?’. Een vermenigvuldiging is natuurlijk eigenlijk altijd een vorm van herhaald optellen. Als ik bijvoorbeeld 153x47 wil uitrekenen, dan kan ik dat doen door 153 bij 153 op te tellen, en dan bij het resultaat weer 153 op te tellen en zo nog 44 keer te herhalen. Maar dat is niet echt een handige manier. Maar je kunt 47 ook schrijven als 40+7 of 4x10+7, en vervolgens als (3+1)x10 + (5+2), waarbij we de getallen 1, 2, 3 en 5 tevoorschijn zien komen.

[1] Ze zijn zo bijzonder dat we ze in het laatste verhaal, over de wiskunde van Italië, nog een keer zullen tegenkomen.

Op de yupana komt dat er op neer dat we 47 neerleggen en vervolgens in elke rij zorgen dat we alleen maar geheel gevulde vakjes krijgen. Dan vinden we op de rij van de tientallen de 3 en de 1 en op de rij van de eenheden de 5 en de 2. Maar nu zijn we er nog (lang) niet. We hebben nu kolommen nodig aangeven met de cijfers 1, 2, 3 en 5. In de kolom met de 1 plaatsen we het getal 153. In de kolom met de 2 plaatsen we 2x153, wat we kunnen berekenen als 153+153=306. Het optellen kunnen we doen met een yupana zoals eerder uitgelegd. De kolom met de 3 moet 3x153 gaan bevatten en dat kunnen we uitrekenen als 306+153=459. Als laatste vullen we in de kolom met de 5 het resultaat in van 459+306=765.

Na al deze voorbereiding kunnen we – eindelijk – onze eindberekening uit gaan voeren (geillustreerd in de figuur hieronder). We beginnen op de rij van de tientallen met het getal 3. (Nog even herhalen: 47 = (3+1)x10 + (5+2), dus we hebben voor de tientallen 3+1, en voor de eenheden 5+2.) Daarvoor schuiven we de inhoud van de kolom met cijfer 3 een rij naar boven en liggen die dan in een lege yupana (stap A). Dan tellen we daar de inhoud van de kolom met cijfer 1, ook een rij naar boven verschoven, bij op (stap B). Vervolgens gaan we naar de rij met de eenheden en daar vinden we 5+2. Dus tellen we nu de inhoud van de kolom met cijfer 5 – niet verschoven – op bij de inhoud van de yupana (stap C) en tenslotte de inhoud van de kolom met cijfer 2 (stap D). De getallen die boven de kolommen staan leggen we (op de juiste rij) telkens links naast de yupana, waardoor daar het getal 47 ontstaat. En in de yupana komen we uit op 7191 = 47x153 = 4590+1530+765+306.

Figuur 4: De vermenigvuldiging 153x47 uitgevoerd op de yupana door 4590 (10x3x153), 1530 (10x1x153), 765 (5x153) en 306 (2x153) bij elkaar op te tellen.

Op deze manier vermenigvuldigen lijkt voor ons misschien ingewikkeld en omslachtig omdat we zo gewend zijn aan onze eigen methode. Maar met wat oefenen is dit best een snelle en handige methode. Het gebruik van de getallen 1, 2, 3 en 5 blijkt erg efficiënt. Het is niet voor niets dat veel landen in hun munten en briefgeld vaak als waarden 1, 2, 5, 10, 20 en 50 of 1, 2.5, 5, 10, 25 en 50 gebruiken. Met deze getallen is efficiënt, dus met zo min mogelijk munten en briefjes, ieder bedrag samen te stellen. En bij onze westerse manier van vermenigvuldigen (zonder rekenmachine) maken we sterk gebruik van de tafels van vermenigvuldiging. Om vermenigvuldigingen met grote getallen te kunnen uitrekenen is het essentieel dat je de tafels uit je hoofd kent. Vandaar het oeverloos opdreunen van die tafels op de lagere school. Dat is bij het rekenen met de yupana niet nodig.

Uiteraard is het ook mogelijk om de yupana te gebruiken om te delen, maar dat zal ik niet helemaal uitschrijven. De laatste figuur illustreert hoe dat werkt en voor een beschrijving verwijs ik mijn geïnteresseerde lezers graag naar het werk van Molly Leonard en Cheri Shakiban: “on The Incan Abacus: A Curious Counting Device” in het Journal of Mathematics and Culture, Volume 5 Number 2, November 2010.

Figuur 5: Delen met de yupana door gebruik te maken van de veelvouden van 153: 153 (1x153), 306 (2x153), 459 (3x153) en 765 (5x153). In stappen A-C wordt 3x10x153 van 7191 afgetrokken, als grootste factor kleiner dan 7191. In D-F volgt 1x10x153, in G-I 5x153 en tenslotte in J en K 2x153. Aan de rechterkant ontstaat zo als resultaat 30+10+5+2=47.

Overigens stopt het verhaal van de dames Leonard en Shakiban hier nog niet. Één van beide dames - Cheri Shakiban - was studente Spaans en heeft gezocht naar verwijzingen in de dialecten van Zuid-Amerika naar de manier waarop de yupana werd gebruikt. Net zoals we in onze taal soms verwijzen naar onze manier van rekenen, bijvoorbeeld als we zeggen dat we zaken “eens goed onder elkaar moeten zetten” of dat we willen weten wat “het resultaat onder de streep” is, zo moet dat ook in de wereld van de Inca’s gebeurd zijn. En waarempel, ze vond aanwijzingen in de taal over het ‘vol maken’ van getallen wat waarschijnlijk verwijst naar het verdelen van de steentjes in een rij zodat er volle vakjes ontstaan als voorbereiding bij het vermenigvuldigen. En ze vond twee aanduidingen voor het getal 10: tunka en matunka. Dat laatste woord zou letterlijk vertaald “één tien” betekenen en verwijst waarschijnlijk naar het gebruik van de rechterkolom om “één te onthouden”. Deze taalkundige aanwijzingen samen met de logica van het verhaal van Leonard en Shakiban maken het wel erg waarschijnlijk dat hun beschrijving van het gebruik van de yupana overeenkomt met hoe de Inca’s dat vroeger deden. Zeker zullen we het misschien nooit weten, maar met een sterk stukje wiskunde zijn we zo dichtbij gekomen als maar mogelijk is.

In bijna elk verhaal en elke documentaire over de Maya’s wordt wel hoog opgegeven over de wiskunde. De Maya’s worden afgeschilderd als de wiskundige genieën van de oudheid. Maar hetzelfde wordt beweerd van de oude Egyptenaren, de oude Chinezen, Babyloniërs, van vrijwel elke oude beschaving die gebouwen heeft achtergelaten waarvan de verhalenschrijvers/documentairemakers niet weten hoe ze dat hebben gedaan. Maar het bouwen van piramides en andere bouwwerken heeft helaas weinig met wiskunde te maken. Natuurlijk moeten er berekeningen gemaakt worden, en moet er logisch nagedacht worden over constructiemethoden, maar – ere wie ere toekomt – dat is architectuur of bouwkunde*. Een gebouw uitlijnen op de opkomst van de zon op een bepaalde datum of een ander astronomische gebeurtenis is ook niet echt hogere wiskunde. Het bleek nog niet zo eenvoudig om een goed wiskundig onderwerp te vinden dat gerelateerd is aan de Maya’s.

* Het gebruik van wiskunde, en dan met name meetkunde, in de bouwkunst is wel zodanig interessant dat ik daar binnenkort een verhaal over wil gaan schrijven.

In het dagelijks leven telden de Maya niet met de Long Count, maar gebruikten ze andere kalenders. Opvallend is het aantal verschillende kalenders dat de Maya naast elkaar (en door elkaar) gebruikten. Zo kennen we: de Tzolk’in die met name gebruikt werd voor religieuze en ceremoniële gebeurtenissen, de Haab’ voor agrarisch gebruik, de negen Heren van de Nacht, en de Kawil: een cyclus van 819 dagen die werden aangegeven met een kleur en een windrichting. De meest gebruikte hiervan waren de Tzolk’in en de Haab’. Een dag in het leven van de Maya had zowel een Tzolk’in als een Haab’ aanduiding. De Tzolk’in bestond uit twintig perioden, aangegeven met namen, van dertien dagen, aangegeven met nummers. In totaal dus 260 dagen. De Haab bestond uit 18 ‘maanden’, aangegeven met namen, van twintig dagen, aangegeven met nummers, aangevuld met een periode van vijf dagen met een aparte naam, in totaal dus 365 dagen. Omdat elke dag zowel met een Tzolk’in-datum als met een Haab’-datum werd aangegeven, ontstond in totaal een cyclus van 18980 dagen met unieke combinaties van Tzolk’in- en Haab-data, waarna het geheel zich herhaalde (18980 is het kleinst gemene veelvoud van 260 en 365. 18980=52x365=73x260). Deze periode van 18980 dagen wordt een Calendar Round of kalenderronde genoemd en was voor de Maya’s heel belangrijk.

We hebben nu een heleboel getallen gezien, maar nog geen wiskunde. Die komt pas om de hoek kijken als we vragen gaan stellen als: waar komen die getallen vandaan? Laten we beginnen met de twee meest gebruikte: de 365 dagen van de Haab’ en de 260 dagen van de Tzolk’in. De eerste van deze twee herkennen we als bijna de lengte van ons zonnejaar of tropisch jaar[2]. Er werd lang door historici gedacht dat de Maya’s de positie van de zon niet zo precies konden meten en daarom niet wisten dat het zonnejaar eigenlijk 5 uur, 48 minuten en 45,18 seconden langer is. (Die afwijken geeft aanleiding tot onze schrikkeljaren.) Nu weten we dat de Maya’s de positie van heel veel hemellichamen heel precies konden bepalen en bijvoorbeeld de omlooptijd van de maan hadden berekend op 29.53086 dagen, met een fout van slechts 24 seconden. Alleen om één of andere reden wilden de Maya’s alleen rekenen met gehele getallen en dus schreven ze dit als 81 maancycli = 2392 dagen. Zeer waarschijnlijk gebruikten de Maya’s geen breuken omdat ze hun wiskunde al snel relateerden aan de architectuur. Zo heeft de grote tempel in Chitzen Itza – zoals ieder gids zal vertellen – aan elke zijde een trap met 91 treden, een totaal van 364. Tel daar één ‘trede’ bij op in de vorm van de tempel op de top en je krijgt de 365 dagen van het jaar, of beter gezegd van de Haab’. Er zijn niet veel geschriften van de Maya’s overgeleverd en wat er wel is is lastig te ontcijferen. Maar de laatste jaren wordt er aardig wat vooruitgang geboekt en blijkt dat de Maya’s heel goed wisten dat het zonnejaar langer was dan hun Haab’, maar ook dat het verschil een deel van een dag was. Maar blijkbaar was het gebruik van een kalander met een geheel aantal dagen belangrijker dan dat de dagen op dezelfde plek in de seizoenen vielen[3].

De 260 dagen van de Tzolk’in blijken een stuk lastiger te relateren aan omlooptijden van hemellichamen of andere astronomische zaken. Dat is door de loop der jaren door veel wetenschappers op allerlei manieren geprobeerd, maar zonder overtuigend succes. Nog niet zo lang geleden is er een nieuwe theorie bijgekomen die mij aanspreekt omdat die uitgaat van aannames die haast wel waar moeten zijn en daarop een heel mooie wiskundige redenering bouwt. De aanname waar alle min of meer mislukte pogingen op zijn gebaseerd is dat als het bij de Haab’ om een omlooptijd van de zon gaat, dan zal het bij de Tzolk’in ook wel om een omlooptijd gaan. En omdat de maan in de Maya-geschriften duidelijk op een andere manier wordt behandeld dan de zon, de planeten en de sterren, is het onwaarschijnlijk dat het iets met de maan te maken heeft. Uit de ontcijfering van een belangrijk Maya-document: de Dresden Codex, blijkt dat de Maya’s de bewegingen van Venus en Mars nauwkeurig bijhielden, dus lijkt het logisch om in eerste instantie naar deze twee planeten te kijken.

De bewegingen van Venus en Mars zijn, naast die van de zon en de maan, in veel vroege beschavingen over de hele wereld de meest belangrijke. Daar zijn twee redenen voor:

· Venus en Mars zijn vanaf de aarde het best te zien van alle planeten. Hun baan brengt ze het dichtst bij de aarde, ze staan dicht genoeg bij de zon om genoeg licht te ontvangen en terug te kaatsen, en ze staan niet te dicht bij de zon zodat ze ’s nachts goed te zien zijn.

. omdat hun baan ze het dichtst bij de aarde in de buurt brengen vertonen ze relatief vreemde banen ten opzichte van de sterren. (De naam planeten komt van het Griekse woord πλανῆται dat ‘reizigers’ betekent.) In het volgende filmpje wordt gedemonstreerd waardoor deze vreemde banen, gezien vanaf de aarde, worden veroorzaakt.

Hoe goed de Maya’s waren in rekenen en in het vaststellen van de posities blijkt wel uit het antwoord op de vraag hoe zit het nu eigenlijk met die Long Count? Of preciezer, waar hebben de Maya’s de begindatum 11 Augustus in het jaar 3114 BC op gebaseerd?

Als we dat nu en vanuit Nederland bekijken is het vaste punt de Poolster: Polaris, waar de draaias van de aarde naar toe wijst. Maar dat punt blijkt niet altijd hetzelfde te zijn. De draaias van de aarde blijkt namelijk zelf langzaam rondjes te draaien. Dat wordt precessie genoemd en het zorgt ervoor dat het vaste punt aan de (noordelijke) sterrenhemel langzaam een rondje draait door de sterrenhemel.

Het is moeilijk te geloven dat de Maya’s dat op het jaar precies hebben kunnen bepalen aan de hand van hun metingen. Maar als je als Maya-rekenaar tot de ontdekking komt dat tussen 31 augustus 3114 BC en 21 december 2012 precies 13 baktun, oftewel 1872000 dagen zitten… Dan kun je tot de conclusie komen dat dat geen toeval is en dat die data de begin- en einddata zijn van een tijdperk.

Waarom 31 augustus? Het kan zijn dat de Maya-sterrenrekenaars zijn uitgegaan van 21 december 2012 en van daaruit hebben teruggerekend. Tenslotte is 21 december astronomisch gezien een belangrijke dag, de kortste dag van het jaar. Dat is een mooi beginpunt voor een nieuw tijdperk. Maar daarbij moeten we er wel rekening mee houden dat de Maya’s een stuk zuidelijker leefden dan wij in Nederland, en dat vanuit hun plekje op de wereld het verschil in daglengte tussen de zomer en de winter een stuk kleiner was. Op het schiereiland Yucatan zijn er dagen die misschien astronomisch gezien interessanter zijn. Net ten zuiden van de kreeftskeerkring komt het bijvoorbeeld twee keer per jaar voor dat de zon recht boven je staat en van de zuidelijke helft van de hemel oversteekt naar de noordelijke kant. En laat één van die twee dagen nu juist 31 augustus zijn…

Ook hier zullen we misschien nooit zeker weten wat de reden was voor de keuzes van de Maya’s, maar de link met de astronomie lijkt behoorlijk zeker bij een cultuur die zoveel aandacht besteedde aan het bestuderen van de hemel. En wie weet komt er een keer een wiskundige langs die, net als bij de yupana, op basis van het beetje informatie dat we hebben tot een prachtige theorie komt die alle puntjes met elkaar verbindt.

China is één van de weinige landen ter wereld waar een wiskundige stelling naar genoemd is: de chinese reststelling. Op het eerste gezicht een merkwaardig wiskundig puzzeltje, dat lijkt te komen uit een puzzelboek voor jongetjes zoals ik er één was toen ik een jaar of 12 was. Maar ik zal laten zien dat vrijwel iedereen vandaag de dag regelmatig gebruik maakt van deze stelling.

Het probleem gaat als volgt:

               Ik heb een aantal munten.

                Als ik deze over drie stapels verdeel hou ik er 2 over.

                Als ik deze over vijf stapels verdeel hou ik er 3 over.

                Als ik deze over zeven stapels verdeel hou ik er 2 over.

                Hoeveel munten heb ik?

Voor degenen die zich het rekenen van de lagere school nog herinneren is de naam van de stelling nu duidelijk. In het probleem wordt een paar keer de rest van een deling gegeven en moeten we op basis daarvan proberen te achterhalen wat het aantal munten is. Met een beetje proberen komen we op het juiste antwoord: 23 munten. Als je 23 deelt door 3 kom je op 7x3=21 en hou je 2 munten over. Als je 23 deelt door 5 kom je op 4x5=20 en hou je 3 munten over. En als je 23 deelt door 7 kom je op 3x7=21 en hou je weer 2 munten over.

Qin Jiushao weet dit te bewijzen door een methode te geven waarmee de oplossing gevonden kan worden, en dan aan te tonen dat deze methode altijd één enkele uitkomst geeft. Ik zal niet het hele bewijs hier geven, maar de methode uitleggen aan de hand van het probleem van meester Sun:

Zoals dat vaak gebeurt in de wiskunde beginnen we met aannemen dat we een oplossing hebben gevonden, maar dat we nog niet weten wat die oplossing is (klinkt lekker logisch toch?). We noemen de onbekende oplossing X. Deze X moet nu aan drie voorwaarden voldoen, en dat maakt het probleem lastig. Dus nu gebruiken we een techniek die ook in de politiek, in management, in het huishouden… eigenlijk overal wordt toegepast: ‘verdeel en heers’.

Divide et impera (verdeel en heers) is een Latijnse spreuk die wordt toegeschreven aan Philippus II van Macedonië (382 v.Chr.-336 v.Chr.).  Philippus zou deze tactiek van verdeel en heers hebben toegepast tegen de Griekse stadstaten. De tactiek houdt in dat de ene concurrent meer rechten krijgt dan de andere concurrent. Hierdoor zal er nooit vriendschap ontstaan tussen hen beiden en hoeft de derde partij, diegene die deze tactiek gebruikt, niet te vrezen dat de eerste twee samen tegen hem zullen optreden.

De oorspronkelijke betekenis is dus heel anders – en veel minder positief – dan de betekenis die we er nu aan geven.

Deel een lastig probleem op in kleinere deelproblemen die makkelijker op te lossen zijn. We gaan X dus opdelen in drie stukken die elk maar aan één voorwaarde hoeven te voldoen.

X = A + B + C

En, omdat wiskundigen luie mensen zijn (de favoriete uitspraak van mijn wiskundeleraar in de examenklas van het VWO) gaan we ‘als je X deelt door drie hou je twee over’ een stuk korter schrijven:

X = 2 mod 3

Dit komt misschien een beetje onnatuurlijk over omdat de 3 en de 2 nu in de andere volgorde komen te staan dan in de zin ‘als je X deelt door drie hou je twee over’. (Wiskundigen zijn lui, maar niet altijd voorspelbaar.) Toch zit daar wel een logica is: je begint met het antwoord (2) en legt dan uit hoe je eraan gekomen bent (de rest bij delen door 3).

Het rijtje

X = 2 mod 3

X = 3 mod 5

X = 2 mod 7

Kunnen we nu vervangen door

X =A + B + C

A = 2 mod 3

X = 3 mod 5

X = 2 mod 7

Dit lijkt nog niet echt veel gemakkelijker. Sterker nog, het lijkt erop dat we het alleen maar ingewikkelder hebben gemaakt. In plaats van te zoeken naar één onbekend getal X moeten we nu op zoek naar drie onbekende getallen A, B en C. Maar we zijn dan ook nog maar net op weg.

De volgende stap is misschien wel de meest interessante, het is eigenlijk de ‘truc’ van het hele verhaal. Maar wiskunde is geen tovenarij, het is zelfs geen goochelarij. De ‘truc’ is gewoon een kwestie van logisch nadenken. We kunnen wel X mooi opdelen in A, B en C en zeggen dat A er nu voor moet zorgen dat er bij delen door 3 netjes de gewenste rest van 2 overblijft, maar dan moeten we er ook meteen voor zorgen dat B en C daarbij geen roet in het eten gooien. Bij het delen door 3 moeten van allebei deze getallen dus geen resten overblijven. Dat geeft

B = 0 mod 3

C = 0 mod 3

Dit kunnen we herhalen voor de andere voorwaarden, waardoor we krijgen

A = 0 mod 5

C = 0 mod 5

en

A = 0 mod 7

B = 0 mod 7

In gewone-mensen-taal staat hier dat A deelbaar moet zijn (zonder rest) door 5 en 7, B moet deelbaar zijn door 3 en 7, en C moet deelbaar zijn door 3 en 5.

Laten we nu met A beginnen. A is deelbaar door 5 en 7, wat betekent dat we A kunnen schrijven als 5x7x… We hoeven nu alleen uit te zoeken wat er op de plaats van de puntjes moet komen te staan zodat A = 2 mod 3. En nu beginnen we gewoon met zoeken bij 1. 5x7x1 = 35, als we 35 delen door 3 houden we 2 over. Bingo! Dus

A = 5x7x1 = 35.

B = 3x7x… We beginnen weer bij 1, 3x7x1 = 21, als we dat delen door 5 houden we 1 over. Dat is dus niet de juiste keuze, want we moeten 3 overhouden. 3x7x2 = 42, waarbij we 2 overhouden als we delen door 5. Ook niet goed. Maar 3x7x3 = 63 levert wel bij delen door 3 een rest 3 op, dus B = 3x7x3 = 63.

C = 3x5x… en we beginnen weer bij 1. 3x5x1 = 15 en dat levert bij delen door 7 als rest 1 op, 3x5x2 = 30 en daarmee krijgen we de gewenste rest 2, dus C = 3x5x2 = 30.

Helemaal aan het begin van dit verhaal gaf ik aan dat vrijwel iedereen tegenwoordig de Chinese reststelling wel eens gebruikt. Nu heb ik wel lang genoeg lekker sommetjes gemaakt en wordt het tijd uit te leggen hoe dat zit. Als je wel eens gebruik maakt van een beveiligde internet-verbinding – te herkennen aan het slotje in de adresbalk en de letter https daarachter – dan is de kans groot dat de berichten die jij verstuurd of die terugkomen van de site versleuteld zijn met behulp van de Chinese reststelling. Hoe zit dat?

Één van de beste manier om een bericht te versleutelen is door gebruik te maken van een code of wachtwoord. (In principe zijn een code en een wachtwoord hetzelfde, een reeks letters, cijfers en bijzondere symbolen.) Als ik een code gebruik om mijn bericht te versleutelen kan de boef er niet achter komen wat er in staat , maar dan moet ik natuurlijk wel zorgen dat de bank mijn wachtwoord wel weet. Nu kan ik een keer bij de bank langs gaan om een wachtwoord af te spreken en dat dan blijven gebruiken. Maar, zoals iedere systeembeheerder je zal vertellen, het is verstandig om regelmatig je wachtwoord te veranderen. Hoe vaker je een wachtwoord gebruikt, hoe waarschijnlijker het wordt dat de boeven het kunnen achterhalen. Het zou het best zijn als je bij elk contact een nieuw wachtwoord zou gebruiken. Maar om nu elke keer naar de bank te gaan om een nieuw wachtwoord af te spreken… dat gaat een beetje in tegen het idee van internet-bankieren.

Het zou ideaal zijn als je iedere keer een nieuw wachtwoord zou kunnen gebruiken en de bank zou kunnen laten weten wat dat wachtwoord is, zonder naar de bank toe te hoeven. Maar ja, het wachtwoord meesturen met je opdracht is natuurlijk ook geen oplossing. Gelukkig hebben wiskundigen hier een slimme oplossing op gevonden. Een methode om elke keer een nieuw wachtwoord te kunnen genereren en de bank te laten weten wat dat wachtwoord is, maar zonder dat een boef die je bericht onderschept er achter kan komen[1]. Het klink als tovenarij, maar het is gewoon wiskunde, en wel specifiek de Chinese reststelling.

[1] Dat wiskundigen ook van essentieel belang zijn bij het kraken van een code die dagelijks veranderd, kun je goed zien in de film “The Immitation Game”.

De Chinese reststelling vertelt ons namelijk dat een combinatie van delers en resten – onder voorwaarde dat de delers niet onderling deelbaar zijn – tot een uniek getal leidt. Qin Jiushao heeft bewezen dat er altijd een unieke oplossing is die kleiner is dan het product van de delers. Dus wat doe ik nu? Ik ga bij het starten met internet-bankieren een keer naar de bank toe en spreek af welke delers we zullen gaan gebruiken. (Hierbij zorg ik ervoor dat mijn delers niet onderling deelbaar zijn. Priemgetallen zijn hiervoor heel handig.) Als ik nu een keer bij mijn rekening wil – om mijn saldo te checken, geld over te maken of wat dan ook – maak ik een wachtwoord aan dat bestaat uit een heel groot getal. (Hoe groter het getal hoe lastiger het is voor een boef om het te raden.) Maar ik moet er wel voor zorgen dat het getal kleiner is dan het product van de delers die ik met de bank heb afgesproken. Ik reken nu voor al mijn delers de rest uit voor het getal dat ik als wachtwoord heb gekozen. (Uiteraard doe ik dit niet zelf, maar mijn internet-bankieren-app doet dit voor me.) De resten stuur ik naar de bank, die daarmee – in combinatie met de delers die we hebben afgesproken – het getal kan terugrekenen dat ik als wachtwoord heb gebruikt. Volgens de Chinese reststelling – gebruik makend van de methode die ik heb laten zien – komt hier altijd één uniek antwoord uit. De bank komt dus gegarandeerd op mijn wachtwoord uit en kan mijn berichten ontsleutelen en met hetzelfde wachtwoord berichten aan mij versleutelen. Een boef die de berichten tussen mij en de bank onderschept kan hoogstens aan de resten komen, maar niet de delers en kan dus mijn wachtwoord niet uitrekenen. Zo zijn de berichten tussen mij en de bank gegarandeerd veilig, ook al worden ze door een boef onderschept.

Zo zie je maar, ook een ogenschijnlijk nutteloos wiskundig puzzeltje kan ongelofelijk nuttig blijken.

India is het land dat misschien wel het meest heeft bijgedragen aan de geschiedenis van de wiskunde van alle landen in de wereld. Helaas zijn deze bijdragen buiten de wereld van de wiskunde grotendeels onbekend gebleven. Zo zijn de getallen die wij gebruiken, en die meestal aangeduid worden als arabische getallen, oorspronkelijk afkomstig uit India. Daarom worden ze in de wiskunde tegenwoordig hindoe-arabische getallen genoemd. Één van de belangrijkste van die getallen is het getal nul. Dat lijkt een onbelangrijk getal omdat het ‘niets’ voorstelt, maar zoals prof Marcus du Sautoy in het filmpje uitlegt is wiskunde bijna niet mogelijk zonder het getal nul.

En het oudste nu bekende document waarin nul als zelfstandig getal wordt behandeld is het Bakhshali-document dat gevonden is in 1881 in Pakistan, geschreven in Sanskriet vermengd met lokale dialecten. De oudste delen van dit document dateren uit de derde eeuw en het geeft aan dat in India al in die tijd het doen van berekeningen niet voorbehouden was aan de rekenaars van de koning – zoals bijvoorbeeld bij de Inca’s – maar gebruikt kon worden door handelaren en andere ‘gewone’ mensen.

Misschien is het niet meteen zichtbaar, maar dit is een ‘recept’ waarmee het getal π kan worden berekend, een heel belangrijk getal in heel veel takken van de wiskunde[1]. De eerste benaderingen van dit getal komen – voor zover bekend – van Archimedes, die kwam met 223/71 < π < 22/7. Archimedes gebruikte hiervoor figuren met 96 zijden die precies in en precies om een cirkel pasten. De schatting van Archimedes komt neer op 3.1408450… < π < 3.142857. Zoals te zien zijn de eerste twee cijfers achter de komma van de gegeven getallen gelijk en daarna gaan ze verschillen. De schatting van Archimedes is dus nauwkeurig tot twee getallen achter de komma. In de derde eeuw was het een Chinese wiskundige – Liu Hui – die met een methode kwam waarmee π in principe tot elke gewenst aantal cijfers achter de komma kon worden berekend. In de vierde eeuw gebruikte Zu Chongzhi deze methode om π tot 6 cijfers achter de komma uit te rekenen. De berekening was echter enorm ingewikkeld en gebaseerd op figuren met 12288 zijden.

[1] vreemd genoeg speelt het getal π een ontzettend belangrijke rol in de kansrekening.

Het grote voordeel hiervan is dat elk van de termen relatief eenvoudig te berekenen is en dat als je meer cijfers achter de komma wilt, je niet helemaal overnieuw hoeft te beginnen. Er zijn meer van dit soort reeksen waarin π kan worden uitgedrukt en de formule van Ramanujan is er ook één. (Het symbool ∑ staat voor een oneindige som.)

De formule van Madhava van Sangamagrama heeft het voordeel dat de termen veel simpeler zijn dan in die van Ramanujan, maar ze heeft ook een nadeel. Er zijn veel meer termen nodig om hetzelfde aantal cijfers achter de komma goed te krijgen. De formule van Ramanujan blijkt één van de snelste en levert per extra term maar liefst 8 extra correcte cijfers achter de komma op! In de meeste computers wordt de formule van Ramanujan dan ook gebruikt om π uit te rekenen.

Tijdens zijn leven produceerde Ramanujan een ongelofelijk aantal van wel 3900 nieuwe stellingen en formules. Sommige daarvan zijn zo uniek en ongekend dat ze tot nieuwe onderzoeksgebieden in de wiskunde hebben geleid. Één van de grootste doorbraken in de wiskunde van de afgelopen jaren is het bewijs dat Andrew Wiles in 1994 leverde van de laatste stelling van Fermat. In het onderstaande fragment (uit de BBC-documentaire-serie Horizon) is goed te zien hoe belangrijk wiskunde voor een wiskundige kan zijn.

Dit werk zou niet mogelijk zijn geweest zonder het Ramanujan-vermoeden en het daarop gebaseerde werk aan elliptische vormen.

In de film wordt een aardige anekdote gegeven over zogenaamde ‘cab-numbers’ (taxi-getallen). Hardy maakt een opmerking over het nummer van een taxi die hij heeft genomen en noemt het getal erg saai.

Deze anekdote wordt door Hardy zelf beschreven als een voorbeeld van de relatie die Ramanujan had met getallen. Volgens Hardy had zijn collega John Edensor Littlewood gezegd dat het wel leek alsof ieder getal een persoonlijke vriend van Ramanujan was.

In 1976 werd een nog onbekend notitieboek van Ramanujan gevonden waar tot vandaag de dag door wiskundigen over de hele wereld aan wordt gewerkt. Waar het werk van Ramanujan allemaal nog meer toe gaat leiden is niet te voorspellen, maar duidelijk is wel dat Ramanujan een bijzonder persoon was met een bijzonder talent voor wiskunde. En ‘The man who knew infinity’ is een prachtige film die een mooi beeld geeft van een bijzonder relatie tussen Ramanujan en zijn mentor en grootste bewonderaar Hardy…

(En ja, natuurlijk, ik heb de film inmiddels in de kast staan en bijna ademloos bekeken ;-))

Zoals ik in het verhaal over India al aangaf hebben we in het westen veel van onze kennis over de wiskunde uit India te danken aan de Arabieren. Maar ook de werken van onze ‘eigen’ grote Griekse wiskundigen als Pythagoras, Euclides en alle anderen hadden we waarschijnlijk niet gekend zonder de Arabische gouden eeuw, de bloeitijd van de Arabische wetenschap en met name de wiskunde.

In het Huis der Wijsheid werden werken van Griekse wetenschappers, de Egyptenaren, Chinezen en Indiërs samengebracht en vertaald. We hebben het aan de Arabieren te danken dat veel van de werken van de Griekse wetenschappers bewaard zijn gebleven, want tijdens de Arabische gouden eeuw werden overal in Europa boeken van Plato, Aristoteles, Euclides enzovoorts verbrand omdat ze geschreven waren door heidenen. De Arabieren voegden zelf ook heel veel toe aan de kennis die ze ‘erfden’ van andere beschavingen. Helaas kennen we veel meer namen van Griekse dan van Arabische (of Indiase of Chinese) wetenschappers, maar in heel veel wetenschappelijke termen is de Arabische oorsprong gelukkig nog te herkennen. Simpel gesteld zijn (vrijwel) alle termen die met ‘al’ beginnen afkomstig van een Arabische wetenschapper of Arabisch woorden. Het eerder genoemde woord alchemie komt uit het Arabisch, maar ook alcohol, almanak, elixer, en natuurlijk algoritme en algebra. En verder hebben heel veel namen van sterren een Arabische oorsprong.

Dit gaan we uitschrijven en omschrijven, waarbij we als eerste gebruiken dat we mogen aannemen dat de formule klopt voor het getal k, dus:

Dat betekent dat we de som aan de linkerkant kunnen vervangen door k², op de laatste term na:

Aan beide kanten de haakjes wegwerken levert

Nu is het laatste stapje makkelijk, nog even de 2 en de -1 links samen nemen

We komen uit op een waarheid als een koe en dus hebben we nu bewezen dat als de formule klopt voor het getal k, dan klopt die ook voor k+1. Omdat we ook een beginpunt hebben waarvoor de formule klopt (n=1) kunnen we met deze stap alle getallen doorlopen tot in het oneindige en hebben we dus bewezen dat de formule voor alle getallen klopt. Deze bewijsmethode is ongelofelijk krachtig en belangrijk in de wiskunde.

Hoewel de houding van al-Mamun dus erg open was en het Huis der Wijsheid geleerden met verschillende achtergronden toeliet, was er wel één duidelijke restrictie: vrouwen waren niet welkom. In mijn verhalen over de oorsprong van de TaNaKh, de bijbel en de Qu’ran beschrijf ik de nauwe samenhang tussen het Joodse en Christelijke geloof en de Islam, die vanwege hun gedeelde geschiedenis ook veel ideologie delen. We weten dat in de Griekse en Egyptische samenlevingen vrouwen belangrijke bijdragen leverden aan de wetenschap. Dat de drie monotheïstische godsdiensten allemaal vijandig staan tegenover wetenschap en vrouwen – en dus helemaal op de combinatie van beide – is waarschijnlijk te verklaren door het feit dat ze alledrie hun geschiedenis terugvoeren op het verhaal van Abraham. Diens vrouw Sara is degene die uitspraken van Jahweh/God/Allah in twijfel trekt omdat ze niet logisch zijn. (De afstammelingen van Abraham zullen het uitverkoren volk vormen, maar Sarah is te oud om kinderen te krijgen. Sarah legt uit dat dat niet

Ook in de Arabische wereld won uiteindelijk het (islamitisch) fanatisme het van de wetenschap. Toen de Mongolen in 1258 de boeken uit de beroemde bibliotheek in de rivier de Tigris gooiden was de Arabische gouden eeuw al lang voorbij en regeerde het fundamentalisme. Gelukkig had de kennis die behouden en uitgebouwd was in het Huis der Wijsheid inmiddels een ander onderdak gevonden door de opkomst van de Renaissance in Italië, het volgende land van onze wereldreis.

We zijn aangekomen bij de laatste stop van onze wereldreis en dus het laatste verhaal. En dat verhaal gaat over de – na Galileo Galilei – bekendste Italiaanse wiskundige. Maar zelfs de meeste wiskundigen zullen hun wenkbrauwen optrekken bij de naam Leonardo van Pisa. We kennen hem namelijk onder de naam die hem pas in 1838 door een Frans historicus is gegeven: ‘zoon van Bonacci’, ofwel ‘filius Bonaccis’ afgekort tot Fibonacci. Helaas kennen de meeste mensen zijn naam – die dus niet eens zijn echte naam is – alleen omdat de reeks getallen die zijn naam draagt wel eens in een film gebruikt wordt.

Wie de man was, wat hij voor de wiskunde heeft betekend en hoe hij aan die beroemde reeks getallen is gekomen, daar gaat dit verhaal over.

Het Liber Abaci werd al snel een bestseller in Europa, vooral vanwege de praktische toepassingen. Het rekenen met Hindu-Arabische getallen was zoveel makkelijker dan met Romeinse cijfers dat – zoals gezegd – de internationale handel en de banken een enorme groei doormaakten. In 1220 brengt Leonardo zijn tweede boek uit: Practica Geometriae, met technieken voor landmeting, positiebepaling en het berekenen van oppervlakten en volumes. We weten weinig over de tussenliggende periode in zijn leven, maar het onderwerp van twee van zijn werken die verloren zijn gegaan – di minor guisa, over handelsrekenen, en een commentaar op het werk van Euclides – doet vermoeden dat hij geïnteresseerd bleef in zowel de praktische als de theoretische kant van de wiskunde. Het onderwerp van Practica Geometriae wijst erop dat hij inmiddels bekend was geworden en zich in hogere politieke krijgen ophield. In 1225 dringen de wetenschappelijke adviseurs van keizer Frederik II er bij de keizer op aan dat hij Leonardo moet ontmoeten tijdens een bezoek aan Pisa. De legende gaat dat de keizer eerst wel eens wilde weten of Leonardo echt zo slim was of dat hij alleen maar goed was in het vertalen van de werken van de Arabieren. Daarom gaf hij zijn ‘hofwiskundige’ Johannes van Pisa de opdracht om een aantal wiskundige opgaven te bedenken die hij Leonardo kon voorleggen. Één van die opgaven was het konijnenprobleem waarvan de oplossing tot de beroemde Fibonacci-reeks leidde.

Wiskundigen die de geschiedenis van Fibonacci hebben bestudeerd weten dat dit verhaal niet klopt. Keizer Frederik II was erg geïnteresseerd in wetenschap en liet werken van Griekse en Arabische geleerden vertalen aan zijn hof. Hij heeft zelf een boek geschreven over valkenierschap in een wetenschappelijke stijl. En er wordt beweerd dat hij experimenten liet uitvoeren die tegenwoordig niet door een ethische commissie zouden komen. Zo wilde hij testen of het Hebreeuws, het Grieks, Latijn of Arabisch de oudste taal was, door kinderen te laten opgroeien zonder ze bloot te stellen aan taal. De kinderen werden afgesloten van de buitenwereld opgevoed door pleegouders die instructie kregen nooit te praten als de kinderen hen zouden kunnen horen. Volgens de monnik die de experimenten heeft beschreven mislukten deze omdat de kinderen begonnen te klappen, gebaren en communiceren met gezichtsuitdrukkingen. Nu zouden we dat misschien een elementaire vorm van gebarentaal noemen.

Hoe dan ook, het is onwaarschijnlijk dat Frederik II moest worden overgehaald om Leonardo te ontmoeten. Maar dat Johannes van Palermo hem problemen heeft voorgelegd om te testen of hij alleen maar het werk van de Arabieren vertaalde klopt wel. Leonardo heeft in 1225 het boek Flos uitgebracht, waarin hij aangeeft dat dit boek de antwoorden bevat op drie van die opgaven. Interessant is dat één van die opgaven is het vinden van een oplossing voor de vergelijking 10x + 2x² + x³ = 20. Het is interessant omdat deze opgave rechtstreeks uit een boek van de Arabische wiskundige Omar Kayyam komt, die ook de oplossing geeft. Leonardo beschrijft echter in zijn boek dat hij de vergelijking niet kan oplossen met de hem bekende methodes, bewijst dat ook en geeft vervolgens een benadering van de oplossing die tot 9 cijfers nauwkeurig is. Voldoende bewijs dat hij niet kopieerde wat de Arabieren hadden bedacht, maar dat hij zelf een groot wiskundige was.

We weten helaas ook dat het konijnenprobleem niet één van de opgaven was. Leonardo noemt dit probleem en de oplossing namelijk al in zijn Liber Abaci. Maar het probleem en de oplossing komen waarschijnlijk niet eens van Leonardo. In ieder geval was de reeks die nu bekend staat als de Fibonacci-reeks al bekend in India in de 6^e eeuw. Maar het blijft wel een mooi verhaal.

Fibonacci omschrijft het probleem zelf als volgt:

Een zeker man stopt een paartje konijnen in een ruimte die aan alle kanten is afgesloten. Hoeveel paar konijnen zijn er na een jaar als we aannemen dat elk paar iedere maand een nieuw paar baart dat vanaf de tweede maand zelf vruchtbaar wordt?

Ik kan me voorstellen dat dit – zeker voor niet-wiskundig-getrainden – niet onmiddellijk duidelijk is. Dus zal ik het probleem (hopelijk) wat duidelijker uitleggen.

Stel we beginnen met een paartje konijnen dat pas is geboren. Natuurlijk voeren we die lieve beestjes goed en we zorgen ervoor dat ze een fijn leventje hebben in een mooi hokje. Na een maand zijn deze konijntjes vruchtbaar. (Daarmee is het wel een heel bijzonder soort konijnen, want normaal duurt dat 3 tot 5 maanden. Maar ja, in de wiskunde is het soms net als in sprookjes, alles is mogelijk.) En omdat het konijnen zijn maakt het mannetje meteen van de gelegenheid gebruik en raakt het vrouwtje meteen in verwachting (bij dieren noemen we dat natuurlijk ‘drachtig’). Een maand later worden er twee jonge konijntjes geboren, en heel toevallig weer een mannetje en een vrouwtje. (Ook dat is wat vreemd, want normaal gesproken bestaat een ‘worp’ uit 8 tot 12 jongen.) Het nieuwe paartje zetten we apart in een hokje en het ouder-paartje gaat meteen verder met de voortplanting. De volgende maand worden opnieuw twee konijntjes geboren, en – je verwachte het misschien niet – weer een mannetje en een vrouwtje die weer hun eigen hokje krijgen. Een maand later krijgt het ouder-paartje weer jongen, maar nu komt er ook een paartje jongen bij hun eerste worp die de maand daarvoor (op een leeftijd van 1 maand) vruchtbaar zijn geworden.

Het vruchtbaar worden na een maand, jongen krijgen na een maand, apart zetten en weer opnieuw jongen krijgen na een maand verloopt elke keer bij elk paartje precies hetzelfde. Er gaan geen konijnen dood en er komen geen konijnen van buitenaf bij. Het is allemaal een beetje gekunsteld, maar dat vinden wiskundigen vaak niet erg. Ze vinden de vraag en het benodigde denkwerk veel te leuk. De vraag in dit geval is hoeveel paartjes konijnen er na een jaar zijn. (Of anders gezegd, hoeveel aparte hokken zijn er nodig?)

We kunnen het recept ook in een formule vangen:

kn = kn-1 + kn-2

waarbij de letter k staat voor het aantal konijnen, en het subscript (het kleine lettertje dat er onderaan bungelt) n staat voor het nummer van de maand. Nu kunnen we uitrekenen op hoeveel paartjes we zitten na een jaar, dus op maand twaalf*. De Fibonacci-reeks ziet er namelijk zo uit:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, …

en daarvan moeten we de 13^e term hebben (de eerste term is maand 0, de tweede maand 1 enzovoorts), oftewel 233.

In ieder geval brengt het onderzoek naar Fibonacci-getallen in de natuur naar voren dat wiskunde overal in de natuur opduikt. In de natuurkunde was al heel lang duidelijk hoe belangrijk de wiskunde met haar formules en methodes is voor het beschrijven van allerlei verschijnselen van de beweging van planeten tot de kleinste deeltjes, van oceaanstromingen, het weer, de sterkte van gebouwen en bruggen… Overal gebruiken we formules en dus wiskunde, en wiskundige methodes om die vergelijkingen op te lossen. Natuurlijk zijn computers en informatica gebaseerd op wiskunde, maar ook in de biologie, de psychologie en eigenlijk in alle wetenschappen wordt steeds meer wiskunde gebruikt. (In mijn verhaal over de verkeerde wiskunde leg ik uit dat de logica, één van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde, de basis vormt voor alle wetenschap.) Nu gaan er stemmen op – vooral onder fundamenteel natuurkundigen – dat wiskunde wel eens meer zou kunnen zijn dan alleen een heel krachtig en nuttig instrument om alles om ons heen te beschrijven. Het zou wel eens zo nuttig en krachtig kunnen zijn omdat alles om ons heen ‘gemaakt’ is van wiskunde. Dat klinkt heel gek, maar als je je verdiept in de fundamentele natuurkunde, en dan met name de kwantummechanica, dan lijkt het erop dat als je maar ‘diep’ genoeg in de hele hele hele kleine deeltjes ‘kijkt’ er eigenlijk geen deeltjes meer zijn maar alleen nog maar formules, waarschijnlijkheden en logica. Zo zou wiskunde wel eens ‘the fabric of our universe’ kunnen zijn….

Dit verhaal eindigt hier, de reis is compleet, we zijn de wereld rond. Maar natuurlijk houdt de wiskunde niet op en dus de verhalen ook niet. Dus als je het interessant vond, er volgt vast nog een keer meer 😉.